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La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{ a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .

Ejemplo:

Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por unaQ
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

P={ x/x Î N ; X Ï L }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIÓ

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

Ejercicios resueltos

1. P(A

B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A

B =

y entonces

P(A ó B) = P(A

B) = P(A) + P(B)

= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.

2. P(A) + P(A^c) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(A^c):

P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13

3. P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: A

B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es

P(A o B) = P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

4. P(A

B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es

P(A y B) = P(A

B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6)

= 1/12

5. P(A

B) = P(A)•P(B/A). ó P(B/A) = P(A

B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
Debemos calcular P(as/corazón). La probabilidad de "as y corazón" es 1/52. La probabilidad de corazón es 13/52.
Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

6. . Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

8. Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M. de la región, señaló que:

277 preferían Carolina

233 preferían Manquehue

405 preferían Tiempo

165 preferían Manquehue y Tiempo

120 preferían Manquehue y Carolina

190 preferían Carolina y Tiempo

105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas

Determine:

a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?

b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?

c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?

Solo C= 277-120+105-190+105-105 Solo M= 233-120+105-105-165+105

Solo C= 72 jóvenes Solo M= 53 jóvenes

Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes

Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes

Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes

Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses

adicionales

19. Considérese la siguiente utilización del principio de inducción: Demostraremos por inducción que todo ser humano tiene el mismo nombre. En particular, probaremos que dada una colección de n personas, para cualquier n ∈ ω, todas las personas tienen el mismo nombre. La primera etapa es trivial, porque si n = 1 cualquier persona tiene el mismo nombre que ella misma. La hipótesis de inducción es que en toda colección de k personas, todas tienen el mismo nombre. Ahora consideremos una colección de k + 1 personas. Hacemos que marche una de estas personas. Por la hipótesis de inducción, las otras k personas tienen todas el mismo nombre. Ahora cambiamos la persona que está fuera por una de estas k personas. Volvemos a obtener un grupo de k personas, que por la hipótesis de inducción, tienen el mismo nombre. Por tanto la persona que acaba de entrar se llama igual que el resto. ?? las k + 1 personas tienen el mismo nombre. Dónde falla la demostración?

Solución: Consideremos la aﬁrmación P(n) = en toda colección de n personas, todas tienen el mismo nombre.

- P(1) es cierto (a menos que consideremos que no iene sentido, pero eso no

cambia nada).

- Se puede ver fácilmente que P(2) no es cierta.

- También escierto que, para k ≥ 2, si P(k) es cierta entonces P(k + 1) es

cierta. Esta parte del razonamiento no tiene ningún error. Pero se está suponiendo que hay 2 o más personas en la sala (es decir que k ≥ 2). Por tanto, aunque

P(1) sea cierta, no sirve de nada, poque la inducción debería comenzar a partir

de P(2) que no es cierta.

20. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }

a) A - C b) B - C

A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

A - C = { a, b, c, e }

B = { a, e } y C = { d, f, g }

B - C = { a, e }

CONCEPTOS BÁSICOS EN LA PROBABILIDAD

EXPERIMENTO Y ENSAYO

Un experimento aleatorio es un proceso que tiene las siguientes propiedades:

El proceso se efectúa de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas.
Es de naturaleza tal que se repite o puede concebirse la repetición del mismo.
El resultado de cada ejecución depende de "la casualidad" y por lo tanto, no se puede predecir un resultado único.

Una sola ejecución del experimento se llama ensayo

ESPACIO MUESTRA Y EVENTO

Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestra o espacio muestral del experimento, y se denota por S. Cada uno de los resultados del experimento se llama elemento o punto de S. Se dice que un espacio muestra es finito o infinito, cuando el conjunto S tiene un número finito o infinito de elementos, respectivamente.

En muchos problemas prácticos no estamos tan interesados en los resultados individuales del experimento sino en el hecho de que un resultado se encuentre contenido en un cierto conjunto de resultados. Es claro que cada conjunto de este tipo es un subconjunto del espacio muestra S, Este subconjunto se llama evento osuceso.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos A y B que no ocurren simultáneamente o que no tienen elementos en común; es decir, si A Ç B = Æ , entonces A y B son eventos mutuamente exclusivos o mutuamente excluyentes.

EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Dos eventos A y B son complementarios si A È B = S y A Ç B = Æ . En caso de que se cumplan estas dos propiedades a B se le denota por A^C (B es el complemento de A) o a A por B^C (A es el complemento de B).

Ejemplo 23: Sea el experimento de sacar dos fusibles, ambos a la vez, de una caja que contiene 5 fusibles (supongamos que están marcados con las letras a, b, c, d, y e). Supongamos además que 3 están defectuosos (supongamos que los defectuosos son b, c, y d). El espacio muestra es el conjunto de las formas en que se pueden sacar dos fusibles de los cinco.

S = {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de}

Algunos eventos son:

El evento A en que ninguno de los dos fusibles sean defectusos.
El evento B, en que uno de los dos fusibles es defectuoso.
El evento C, en que uno o más fusibles son defectuosos.
El evento D, en que los dos fusibles son defectuosos.

Escritos en notación de conjuntos tenemos:

A = {ae}

B = {ab, ac, ad, be, ce, de}

C = {ab, ac, ad, bc, bd, be, cd, ce, de}

D = {bc, bd, cd}

Los eventos A y B; A y D; B y D; A y C son mutuamente exclusivos, porque A Ç B = Æ , A Ç D = Æ ; B Ç D = Æ .y A Ç C = Æ .

Los eventos A y C son además complementarios, o sea, A Ç C = Æ y A È C = S.

Ejesicios.

1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve.

Solución

a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }

b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)

Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición.

2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.

Solución

a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.

E: espacio muestral, de 20 elementos.

P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad).

b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos

B^c: extraer uba bola al azar que NO sea verde.

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)

3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo

Solución:

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

E = { RR, RB, BR, BB }

a) Con reemplazo

RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).

RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).

BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).

BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).

b) Sin reemplazo

RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).

RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).

BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).

BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).

4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Solución

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)

B^c: NO extraer bola blanca, P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)

5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.

Solución

H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3

M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3

P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)

6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución

a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés

Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24

7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Describe los sucesos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.

c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.

Solución

a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.

B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.

C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}

c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10

B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10

8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución

a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)

b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes)

c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.

d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)

9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Solución

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer

P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120

a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios)

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)

c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)

10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución

Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).

Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4

11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?

Solución

Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)

Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4

12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

Solución

a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.

b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.

13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7?

Solución

El espacio muestral tiene 6² = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6.

14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:

a) Salga 6 en todos.

b) Las caras obtenidas sumen 7.

Solución

a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.

b) El espacio muestral tiene 6³ = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.

15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Solución

El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.

A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}

B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).

16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas.

Solución

Sea A_i el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y B_j el suceso de sacar "j" papeletas blancas.

P(A₁) = 1 - P(B₁) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.

P(A₂) = 1 - P(B₂) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P(A₃) = 1 - P(B₃) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.

17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen

Solución

P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.

18. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Solución

P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20.

18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Solución

Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)

	Hombre	Mujer	Total
Ojos castaños	5	10	15
Total	10	20	30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.

19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Solución

	Hombre	Mujer	Total
Casados	35	45	80
Solteros	20	20	40
Total	55	65	120

a) P(hs) = 20/120 = 1/6.

b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.

20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular:

a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.

b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Solución

	Electricidad	Mecánica	Chapa	Total
Mañana	3	8	3	14
Tarde	2	3	1	6
Total	5	11	4	20

a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%

b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%

c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se

admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYAS

Económico Residencial

Condominio Californiano

Provenzal

m=2 n=3

2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Ejercicios.

1. En el primer grupo de la clase “A” del campeonato de fútbol participan 17 equipos. Los premios son medallas de oro, de plata y de bronce. ¿De cuántas formas éstas pueden ser distribuidas?

La medalla de oro puede ser obtenida por cualquiera de los 17 equipos. En otras palabras, aquí tenemos 17 posibilidades. Pero si ya fue otorgada la medalla de oro a algún equipo, quedan sólo 16 pretendientes a la medalla de plata. Aquí no puede haber repeticiones: un mismo equipo no puede obtener las medallas de oro y plata.

Esto significa que después de que un equipo obtenga las medallas de oro, quedaran 16 posibilidades de obtener la de plata. Análogamente, si ya fueron otorgadas las medallas de oro y las de plata, las de bronce pueden ser obtenidas sólo por uno de los 15 equipos restantes. Esto significa que las medallas pueden ser distribuidas de 17 x 16 x 15 = 4080 formas.

2. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?. La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades:

(2,2) (2,4) (2,6) (2,8)

(4,2) (4,4) (4,6) (4,8)

(6,2) (6,4) (6,6) (6,8)

(8,2) (8,4) (8,6) (8,8)

Hay 16 elementos posibles.

3.Como puede seleccionar el pantalón en una de n=3 formas y por cada pantalón seleccionado puede escoger una de m=4 camisas este puede resultar vestido en una de nm = 4*3 = 12 formas diferentes.

4. Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido).

- ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas?

- ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras que no se repitan? (Por CC de Carmen Cardona no se permitiría).

5. El alfabeto es de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, luego hay 26² = 676 listas posibles.

b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 * 25 listas.

6. ¿De cuántas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no se puedan comer una a la otra?

Esta claro que en tal distribución en cada línea horizontal y en cada vertical habrá solamente una torre. Tomemos una de estas distribuciones y denotemos mediante a 1 el número de la casilla ocupada en la primera fila horizontal, mediante a 2, en la segunda,..., mediante a 8, en la octava. Entonces a₁,…,a₈será cierta permutación de los números 1,2,...,8 (está claro que entre los números a₁,…,a₈ no hay dos iguales, puesto que de ser así dos torres quedarían en la misma vertical). Recíprocamente, si a₁,…,a₈ es alguna permutación de los números 1,2,...,8 a ésta le corresponderá cierta distribución de las torres, en la cual no se podrán comer una a la otra. De esta manera, el número de distribuciones buscadas de las torres es igual al número de permutaciones de los números 1,3,..., 8, es decir, a P_8, que equivale a 40320.

7. Supongamos que en las manos de unos lingüistas cayó un texto escrito mediante 26 signos desconocidos. Estos símbolos son letras que representan uno de los 26 sonidos del idioma. ¿De cuántas maneras se pueden hacer corresponder los sonidos a los signos del idioma?

Dispongamos los signos de la escritura en cierto orden. Entonces, cada modo de correspondencia nos dará cierta permutación de los sonidos. Pero de 26 sonidos se pueden formar permutaciones. Este número es aproximadamente igual a . Se sobreentiende que comprobar todas estas posibilidades es un trabajo no sólo superior a las fuerzas del hombre, sino a las de una computadora electrónica. Por esto, se trata de disminuir el número de posibilidades. Con frecuencia se logra separar los símbolos que denotan vocales de los que denotan consonantes. Supongamos que se pudo hallar 7 signos para las vocales y 19 para las consonantes. Calculemos en cuántas veces disminuyo el número de posibilidades. Los 7 signos para las vocales se pueden permutar entre sí de 7! formas, y los 19 para las consonantes, 19! maneras. El número total de combinaciones es igual a . Esto significa que el trabajo disminuyo en veces. Esta claro que ahora es más fácil, pero también es un número gigantesco. Si así reducimos más el número a 4 vocales y 13 consonantes tenemos que las posibilidades que quedan aun son . Este número ya puede ser verificado.

8. Siete muchachas forman una ronde. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar en círculo?

Si estuviesen paradas sin moverse, se obtendrían 7!=5040 permutaciones.

9. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer de las letras de la palabra “Missisipi”?

Tenemos aquí una letra “m”, cuatro “i”, tres “s” y una “p”, habiendo un total de 9 letras. Por lo tanto el número de permutaciones es P(4,3,1,1,)=9!/(4!3!1!1!)=2520

10. Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?. Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?.

Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (nm) posibilidades.

11. Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama:

15 14 13 12

Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15*14 formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay 15*14*13*12 formas de seleccionar la mesa directiva.

11. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez?

R: Permutaciones. 5

P5 = 5! = 120

12. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.

R: Combinaciones 11C4 = 330

13. Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?

R: Recorrido implica orden. 15P6 = 3603600

14. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?

R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es combinación. 7

C3 = 35.

15. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer?

R: No importa el orden de selección. 8

C5 = 56

16. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa. a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin diferenciar el color?

R: 12C5 = 792

b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado final tres dulces de menta y dos de fresa?

R: (8

C3) (4

C2) = (56)(6) =336

c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa?

P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242

17. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.

a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas funcionen?

(7C3) = 35

b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres funcionen?

P(tres funcionen) = (7

C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917

c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente una sin funcionar?

(3C1) (7

C2) = (21)(3)= 63

d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin

Funcionar?

P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7

C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203 TEMA: ASIGNACIÓN DE PROBABILIDAD

18. Una caja contiene 12 productos de los cuales 4 están defectuosos. Si se selecciona un producto al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto defectuoso? b) ¿un producto no defectuoso?

P(Def) = 4/12 = 0.25; P(No def) = 8/12 = 0.75

19. La clase de estadística tiene 12 hombres y 13 mujeres. Si se selecciona al azar a un estudiante. Encuentre la probabilidad de que sea hombre.

P (H) = 12/25 = 0.48

20. Una persona compra un boleto para una rifa en la cuál hay 13 premios mayores y 57 premios menores. Si la emisión de boletos fue de 2000, encuentre la probabilidad de que la persona: a) Se saque un premio mayor; b) no se saque un premio; c) Se saque un premio menor; d) Se saque un premio.

a) P( premio mayor) = 13/2000 = 0.0065

b) P(No premiado) = 1930/2000 = 0.965

c) P(premio menor)= 57/2000 = 0.0285

d) P(premio) = 70/2000 = 0.0350

Probabilidad simple

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

Es cuando se analiza una sola característica.

Probabilidad conjunta

Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con dos o más características.

Es cuando se analiza dos o más características al mismo tiempo.

Suma de probabilidades

Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa comoP(A o B) = P(A È B)

Para eventos mutuamente excluyentes la regla es:

Para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya ha ocurrido, se denota P(A / B) y se lee ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A si ya ocurrió el evento B?

En este tipo de probabilidad, siempre se conocerá una característica y se va a calcular la probabilidad de que ocurra la otra característica. Además la característica conocida, determina la parte del espacio muestral que se va a utilizar como denominador.

PROBABILIDAD CONJUNTA

Dada la experiencia aleatoria con espacio muestral Ω y dos eventos A y B, se define un nuevo evento llamado conjunción de A y B, que se denota A∩B, de la siguiente manera: A∩B ocurre siempre que ocurra A y ocurra B, es decir, que ocurran ambos simultáneamente.

La probabilidad de A∩B, que simboliza P(A ∩ B), se le llama probabilidad conjunta de A y B.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS NO EXCLUYENTES

Ya habíamos comentado algo sobre los eventos mutuamente excluyentes, lo cito aquí: “Los eventos sonmutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en elejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos:

Eventos no excluyentes

Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.
Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.

Eventos mutuamente excluyentes

Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y CONDICIONALES

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)

Ejercicios

1. si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

2. se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

3. En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100

4. en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704

5. Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.

p= 16/27 * 15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 = 52416/968760

Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.
Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un número del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.

P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135

6. Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja.

7. Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes?

Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(A⋂B) = 0
P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P - 0 ⇨ P = 0.3
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.

Para que los sucesos Ay B sean independientes entonces P(A⋂B) = P(A)P(B)
P(A⋂B) = P(A)P(B) ..... condición de eventos independientes.
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A⋂B) = 0.4*P ⇨ P = P(A⋂B) / 0.4
La relación anterior se cumple con la única condición que P(A⋂B) ≠ 0 (no excluyentes).
Para que los sucesos A y B sean independientes P = P(A⋂B) / 0.4 con P(A⋂B) ≠ 0

8. Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?

Aquí,

J: Júpiter se alineará con Marte
A: Su tirada saldrá águilas

Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es

P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.

9. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

10. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

11. - Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solución.

El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos

elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al

azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un

suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera

pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación

podemos escribir el espacio muestral como:

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso

imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?

Solución

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)

(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)

(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)

(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio

muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay unarespuesta

falo, lo llamaremos A y será:

A= {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}

c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}

d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente

los siguientes resultados:

A È B = B A U B = A B- A = {(V, V, V, V)}

12. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?

Solución

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la rojay la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2).Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La

probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos

favorables (uno), partido por casos posibles (tres)

P(R1 Ç R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son independientes.

P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9

13. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

14. i yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

15. En 15 minutos podemos determinar como máximo si cuatro donantes son del tipo requerido, ya que en el peor de los casos si los 4 primeros no son del tipo adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya que 5 pruebas * 3 minutos = 15 minutos) asi que tenemos que deternimar la probabilidad que como máximo el cuarto donante sea del tipo buscado, para esto necesitamos la distribución geometrica,

P(X=x) = p*(1-p)^(x-1)

donde

p=0.20 (20%)

y debemos calcular

P(X<=4) =

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2
P(X=2) = 0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16
P(X=3) = 0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128
P(X=4) = 0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024

Y sumando las probabilidades

P(X<=4) = 0.5904

Que tambien se puede calcular directamente sabiendo que

P(X<=x) = 1-(1-p)^x

P(X<=4) = 1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como anteriormente.

Por lo tanto la probabilidad que sobreviva es de 0.5904 (59.04%)

16. Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades,
es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?

"Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez

se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene

el 2}, su complemento es

A^c={ninguna vez se obtiene el 2}

P(A^c)=P(no sale 2 en 1er lanzam.)• P(no sale 2 en 2º

lanzam.)•P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6

=125/216

0,58.

Luego, como P(A)+P(A^c)=1

P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene

apostar a favor.

17. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra?

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la

primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar

la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) En este caso los eventos son independientes ya

que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no

afecta al otro.

Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B:

"sacar una bolita negra", entonces, usando

P(A

B)=P(A)•P(B), P(A

B)=2/5•3/5=6/25

b) Si no hay reposición, los eventos son dependientes

ya que la bolita no es repuesta a la tómbola, por lo que

ocupamos

P(A

B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10

18. Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la

primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar

la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) Usando la definición, el número total de casos

posibles es 5•5=25 y el número de casos favorables

es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra ó una negra

y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,

usando las propiedades,

P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra)

+ P(sacar negra)•P(sacar después

blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%

b) Número de casos posibles: 5•4=20 y el número de

casos favorables =2•3+3•2=12, luego,

P(B)=12/20=3/5=60%.

O bien, usando las propiedades

P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar negra/sabiendo que

ha salido blanca) +P(sacar negra)•P(sacar

blanca/sabiendo que ha salido negra)

=2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%

19. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)

Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)

Debemos calcular la prob. de A y B, P(A

B).

Usando P(A

B) = P(A)+P(B)-P(A

B), despejamos P(A

B):

P(A

B)=P(A)+P(B)-P(A

B) y reemplazando,

P(A

B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%

20. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

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